关于对偶DP色函数的多项式表示

DP着色(也称为对应着色)是列表着色的一种推广,由Dvořák和Postle于2015年提出。图的色多项式是代数组合学中的一个重要概念,由Birkhoff于1912年引入;记作$P(G,m)$,它等于图$G$的正常$m$着色的数目。对于列表着色,已引入了色多项式的计数函数类比: $P_{\ell}$, 列表色函数(1990); DP着色: $P_{DP}$, DP色函数(2019), 以及$P^*_{DP}$, 对偶DP色函数(2021)。对于任意图$G$和$m \in \mathbb{N}$, 有$P_{DP}(G, m) \leq P_\ell(G,m) \leq P(G,m) \leq P_{DP}^*(G,m)$。2022年(改进了早期结果),Dong和Zhang证明了对任意图$G$, 当$m \geq |E(G)|-1$时, $P_{\ell}(G,m)=P(G,m)$。因此,对于足够大的$m$,图的列表色函数是一个多项式。关于DP色函数最重要且长期未决的问题之一是: 对于每个图$G$, 是否存在一个$N \in \mathbb{N}$和一个多项式$p(m)$, 使得当$m \geq N$时, $P_{DP}(G,m) = p(m)$? 我们证明了对偶DP色函数类似问题的答案是否定的。我们的证明揭示了对偶DP色函数与Zaslavsky于1982年引入的符号图的平衡色多项式之间的联系。