图的笛卡尔积的DP-染色

DP-染色（亦称对应染色）是 Dvořák 与 Postle 于 2015 年引入的列表染色的推广。受图笛卡尔积列表染色相关结果的启发，我们开启了对同一对象的 DP-色数 $\chi_{DP}$ 的研究。我们证明 $\chi_{DP}(G \square H) \leq \text{min}\{\chi_{DP}(G) + \text{col}(H), \chi_{DP}(H) + \text{col}(G) \} - 1$，其中 $\text{col}(H)$ 为图 $H$ 的染色数。我们着力构建用于 $\chi_{DP}(G \square H)$ 下界论证的工具，并用其说明上述界及其各种形式的尖锐性。我们的结果表明，图 $G$ 的 DP 颜色函数（染色多项式的 DP 类比）在图笛卡尔积的 DP-色数研究中至关重要，包括以下延伸上述尖锐性问题及列表色数与色数间差距经典结果的问题：给定任意图 $G$ 与 $k \in \mathbb{N}$，使 $\chi_{DP}(G \square K_{k,t})= \chi_{DP}(G) + k$ 成立的最小 $t$ 为何？