DP色函数与规范标号的界

DP染色是由Dvořák与Postle引入的列表染色的推广。设$\mathcal{H}=(L,H)$为图$G$的一个覆盖，$P_{DP}(G,\mathcal{H})$为$G$的$\mathcal{H}$-染色数。由Kaul与Mudrock引入的$G$的DP色函数$P_{DP}(G,m)$是$P_{DP}(G,\mathcal{H})$的最小值，其中最小值取遍$G$的所有可能的$m$-重覆盖$\mathcal{H}$。对$n$顶点连通图族，由Kaul与Mudrock的两个结果可推得树使DP色函数最大化。本文中，我们得到了$n$顶点$2$-连通图的DP色函数的紧上界。本文另一关注点是覆盖中的规范标号。众所周知，若图$G$的$m$-重覆盖$\mathcal{H}$具有规范标号，则$P_{DP}(G,\mathcal{H})=P(G,m)$，其中$P(G,m)$为$G$的色多项式。然而该结论的逆命题不总成立。我们给出例子：对某些$m$与$G$，存在$G$的$m$-重覆盖$\mathcal{H}$使得$P_{DP}(G,\mathcal{H})=P(G,m)$，但$\mathcal{H}$无规范标号。我们还证明当$G$为单圈图或theta图时，对每个$m\geq 3$，若$P_{DP}(G,\mathcal{H})=P(G,m)$，则$\mathcal{H}$具有规范标号。