关于色多项式与 DP-着色计数

图 $G$ 的色多项式记为 $P(G,m)$，等于 $G$ 的恰当 $m$-着色的数目。图 $G$ 的列表色函数记为 $P_{\ell}(G,m)$，是自 1992 年以来被研究的色多项式的列表类比，主要通过与相应色多项式的比较来研究。DP-着色（也称为对应着色）是 Dvořák 和 Postle 最近引入的列表着色的推广。在本文中，我们引入了一种称为 DP 色函数的色多项式的 DP-着色类比，记为 $P_{DP}(G,m)$，并提出关于它的几个基本开放问题，在其中一些问题上取得进展。受与列表色函数相关已知结果的启发，我们表明虽然 DP 色函数对某些图的表现类似于列表色函数，但也存在一些令人惊讶的差异。例如，Wang、Qian 和 Yan 最近证明了如果 $G$ 是具有 $l$ 条边的连通图，则只要 $m > \frac{l-1}{\ln(1+ \sqrt{2})}$ 就有 $P_{\ell}(G,m)=P(G,m)$，但我们将证明对于任意 $g \geq 3$，存在围长为 $g$ 的图 $G$，使得当 $m$ 足够大时 $P_{DP}(G,m) < P(G,m)$。我们还研究了固定图 $G$ 时 $P(G,m) - P_{DP}(G,m)$ 的渐近性。我们开发了精确计算 $P_{DP}(G,m)$ 的技术，并将其应用于某些图类，如弦图、单圈图和带弦的圈。最后，我们在证明对于任意图 $G$，存在 $p$ 使得当 $m$ 足够大时 $P_{DP}(G \vee K_p, m) = P(G \vee K_p , m)$ 方面取得进展。