DP 染色函数与色多项式（二）

对于任意连通图 $G$，令 $P(G,m)$ 和 $P_{DP}(G,m)$ 分别表示 $G$ 的色多项式和 DP 染色函数。已知对每个正整数 $m$ 均有 $P_{DP}(G,m)\le P(G,m)$ 成立。令 $DP_\approx$（相应地，$DP_<$）为这样的图 $G$ 的集合：存在整数 $M$，使得对所有整数 $m \ge M$ 有 $P_{DP}(G,m)=P(G,m)$（相应地，$P_{DP}(G,m)<P(G,m)$）成立。确定集合 $DP_\approx$ 和 $DP_<$ 是 DP 染色函数研究中的一个关键问题。对于 $G$ 的任意边集 $E_0$，令 $\ell_G(E_0)$ 为 $G$ 中最短圈 $C$ 的长度，使得 $|E(C)\cap E_0|$ 为奇数（当这样的圈存在时），否则 $\ell_G(E_0)=\infty$。若 $E_0=\{e\}$，则将 $\ell_G(E_0)$ 记为 $\ell_G(e)$。本文中，我们证明若 $G$ 有一棵生成树 $T$，使得对每条 $e\in E(G)\setminus E(T)$ 有 $\ell_G(e)$ 为奇数，且 $E(G)\setminus E(T)$ 中的边可标为 $e_1,e_2,\cdots, e_q$，满足对所有 $1\le i\le q-1$ 有 $\ell_G(e_i)\le \ell_G(e_{i+1})$，且每条边 $e_i$ 包含于一个长度为 $\ell_G(e_i)$ 的圈 $C_i$ 中，并有 $E(C_i)\subseteq E(T)\cup \{e_j: 1\le j\le i\}$，则 $G$ 是属于 $DP_{\approx}$ 的图。作为该结论的直接应用，所有平面近三角剖分图以及具有至少三个部分集的完全多部图都属于 $DP_{\approx}$。我们还表明，若 $E^*$ 是 $G$ 的一个边集，使得 $\ell_{G}(E^*)$ 为偶数且 $E^*$ 满足某些条件，则 $G$ 属于 $DP_<$。特别地，若 $\ell_G(E^*)=4$，其中 $E^*$ 是 $G$ 的两个不相交顶点子集之间的边集，则 $G$ 属于 $DP_<$。两个结果均推广了 [DP color functions versus chromatic polynomials, $Advances\ in\ Applied\ Mathematics$ 134 (2022), article 102301] 中的已知结论。