通过计数无环定向的数量证明关于色多项式的一个猜想

一个$n$阶图$G$的色多项式$P(G,x)$可以表示为$\sum\limits_{i=1}^n(-1)^{n-i}a_{i}x^i$，其中$a_i$被解释为$G$中恰好有$i$个分量的无断环生成子图的数量。参数$\epsilon(G)=\sum\limits_{i=1}^n (n-i)a_i/\sum\limits_{i=1}^n a_i$是$G$的无断环生成子图的平均大小。在本文中，我们确认并加强了Lundow和Markström在2006年提出的一个猜想：对于任何$n$阶连通图$G$，如果它既不是完全图$K_n$也不是树$T_n$，那么$\epsilon(T_n)< \epsilon(G)<\epsilon(K_n)$成立。我们证明中最关键的一步是通过$G$的无环定向的数量得到所有$a_i$的解释。