色图多项式的导数与高阶导数的研究

设 $G$ 为阶为 $n$ 且最大度为 $\Delta$ 的图，记 $P(G,x)$ 为其色图。我们研究了 $P(G,x)$ 关于导数及高阶导数的若干性质。首先，我们研究了 $P(G,x)/x^n$ 的单调性。Dong 证明了 $(x-1)^nP(G,x)\geq x^nP(G,x-1)$ 对所有实数 $x\geq n$ 成立。特别地，取 $x=n$ 可证明 Bartels-Welsh 所谓的“羞耻猜想”即 $P(G,n)/P(G,n-1)>e$。Fadnavis 随后表明该不等式对所有实数 $x\geq 36\Delta^{3/2}$ 也成立。我们改进了这个下界，证明它同样适用于所有实数 $x\geq 10\Delta^{3/2}$。随后，我们考虑了 Dong、Ge、Gong、Ning、Ouyang 和 Tay 提出的猜想，即 $\frac{d^k}{dx^k} \bigl( \ln[(-1)^n P(G, x)] \bigr) < 0$ 对所有 $k \geq 2$ 且 $x \in (-\infty, 0)$ 成立。我们证明了该猜想对所有 $k \geq 2$ 且 $x\leq -3.01\Delta k$ 均成立。