关于图的全控制多项式的根

设 $G = (V, E)$ 为阶为 $n$ 的简单图。G的总控制集是V的子集D，使得V的每个顶点与D的某些顶点相邻。G的总控制数是G中总控制集的最小基数，记为 $\gamma_t(G)$。G的总控制多项式是多项式 $D_t(G,x)=\sum_{i=\gamma_t(G)}^n d_t(G,i)$，其中 $d_t(G,i)$ 是G中大小为i的总控制集的数目。本文研究某些图的总控制多项式的根。我们证明 $D_t(G, x)$ 的所有根位于以 $(-1, 0)$ 为圆心、半径 $\sqrt[\delta]{2^n-1}$ 的圆内，其中 $\delta$ 是G的最小度。作为推论，我们证明若 $\delta\geq \frac{2n}{3}$，则 $D_t(G, x)$ 的每个整数根属于集合 $\{-3,-2,-1,0\}$。