支配多项式单调性新视角

图 $G$ 的支配多项式定义为 $D(G,x)=\sum_{k=0}^{n} d_k(G)x^k$，其中 $d_k(G)$ 记录图 $G$ 中包含 $k$ 个元素的支配集数量。Alikhani 和 Peng 的猜想断言，这些多项式具有单调递增的系数序列。我们从三个互补的角度发展这些方法，以强化解决该猜想的工具。首先，我们将支配集视为闭合邻域超图的横截集。受支配多项式单调性与其根数关系的启发，我们利用这一视角扩展了已知的支配多项式根现象。特别是，我们获得了一个线性于图最大度数的支配根模数的上界，改进了 Bencs、Csikv\'{a}ri 和 Regts 相关指数级界限。超图观点还产生了 $D(G,x)$ 前缀系数的显式组合公式，扩展了文献中的公式，为支配单调性猜想提供了组合方法的丰富土壤。其次，我们加强了 Beaton 和 Brown 的系数比方法。这包括紧密他们的不等式，并结合非支配 $k$ 元素集的并置上界与基于生成树的重叠校正。这产生了一个度量图中最大成对邻域重叠的新参数 $\tau_k(G)$，并产生一个经过重叠校正的单调性充分条件。最后，我们证明了阈值图的支配多项式是 log-concave 的，从而单调递增，通过总正性的平面网络论证。这为解决 hereditary 图类的支配单调性提供了一种新策略。