某些支配多项式的单峰性与单调部分

给定一个有 $n$ 个顶点的简单图 $G$，顶点子集 $U \subseteq V(G)$ 是支配集，若 $V(G)$ 中每个顶点要么在 $U$ 中，要么与 $U$ 中一个顶点相邻。$G$ 的支配多项式是生成函数，其系数为给定大小的支配集的数量。我们展示了对于几个著名的图族，支配多项式是单峰的，即系数先非减后非增。特别地，我们证明了具有至多 $400$ 条腿（任意长度）的蜘蛛图、棒棒糖图、完全图的任意直积以及两个完全图的笛卡尔积的单峰性。我们展示对每张图，一部分系数是非增的，该部分的大小依赖于上支配数，且在某些情况下这足以证明单峰性。此外，我们研究具有 $m$ 个泛顶点（即与所有其他顶点相邻的顶点）的图，并展示其支配多项式的最后 $(\frac{1}{2} - \frac{1}{2^{m+1}}) n$ 个系数非增。