关于着色混合图的色数

$(m,n)$-着色混合图 $G$ 是其弧具有 $m$ 种不同颜色之一、边具有 $n$ 种不同颜色之一的图。从 $(m,n)$-着色混合图 $G$ 到 $(m,n)$-着色混合图 $H$ 的同态 $f$ 是一个顶点映射，使得如果 $uv$ 是 $G$ 中颜色为 $c$ 的弧（边），则 $f(u)f(v)$ 是 $H$ 中颜色为 $c$ 的弧（边）。$(m,n)$-着色混合图 $G$ 的 \textit{$(m,n)$-着色混合色数} $\chi_{(m,n)}(G)$ 是 $G$ 的最小同态像的阶数（顶点数）。这一概念由 Ne\v{s}et\v{r}il 和 Raspaud（2000, J. Combin. Theory, Ser. B 80, 147--155）引入。他们证明了当 $G$ 是 $k$-无等着色图时，$\chi_{(m,n)}(G) \leq k(2m+n)^{k-1}$。我们证明了该界的紧性。我们还证明了如果一个图的 $(m,n)$-着色混合色数至多为 $k$，则其无色色数以 $k^2 + k^{2 + \lceil log_{(2m+n)} log_{(2m+n)} k \rceil}$ 为界。此外，利用概率方法，我们证明了对于最大度为 $\Delta$ 的图，其 $(m,n)$-着色混合色数至多为 $2(\Delta-1)^{2m+n} (2m+n)^{\Delta-1}$。特别地，最后一个结果直接将 Kostochka、Sopena 和 Zhu（1997, J. Graph Theory 24, 331--340）得到的最大度为 $\Delta$ 的图的有向色数上界 $2\Delta^2 2^{\Delta}$ 改进为 $2(\Delta-1)^2 2^{\Delta -1}$。我们还证明了存在一个最大度为 $\Delta$ 且 $(m,n)$-着色混合色数至少为 $(2m+n)^{\Delta / 2}$ 的图。