图的顶点与关联同时染色

图 $G$ 的 $n$-细分是通过用长度为 $n$ 的路径替换 $G$ 的每条边而构造的图,$G$ 的 $m$-幂是与 $G$ 顶点相同且 $G$ 中距离至多为 $m$ 的任意两顶点均相邻的图。图 $G^{\frac{m}{n}}$ 是 $G$ 的 $n$-细分的 $m$-幂。在 [M. N. Iradmusa, M. Mozafari-Nia, A note on coloring of $\frac{3}{3}$-power of subquartic graphs, Vol. 79, No.3, 2021] 中猜想最大度 $\Delta\geq 2$ 的图的 $\frac{3}{3}$-幂的色数至多为 $2\Delta+1$。本文中,我们引入图的顶点与关联同时染色,并证明 $G$ 的顶点与关联同时正常染色所需最少颜色数,记为 $\chi_{vi}(G)$,等于 $G^{\frac{3}{3}}$ 的色数。还通过确定该参数的精确值或上界,我们研究了该猜想对 $k$-退化图、圈、森林、完全图、正则二部图等某些图类的正确性。此外,我们探究了这一新色数与图的其他参数间的关系。