外平面图顶点与关联的同时染色

图 $G$ 的 $vi$-同时正常 $k$-染色是对图的所有顶点和关联的一种染色,其中集合 $V(G)\cup I(G)$ 中任意两个相邻或关联的元素获得不同颜色,这里 $I(G)$ 是 $G$ 的关联集合。$vi$-同时色数记为 $\chi_{vi}(G)$,是使得 $G$ 具有 $vi$-同时正常 $k$-染色的最小整数 $k$。在 [M. Mozafari-Nia, M. N. Iradmusa, A note on coloring of $\frac{3}{3}$-power of subquartic graphs, Vol. 79, No.3, 2021] 中研究了最大度 $4$ 图的 $vi$-同时正常染色,并猜想对任意最大度 $\Delta\geq 2$ 的图 $G$,其 $vi$-同时正常染色数至多为 $2\Delta+1$。在 [M. Mozafari-Nia, M. N. Iradmusa, Simultaneous coloring of vertices and incidences of graphs, arXiv:2205.07189, 2022] 中考察了该猜想对 $k$-退化图、圈、森林、完全图、正则二部图等若干图类的正确性。本文中,我们证明任意外平面图 $G$ 的 $vi$-同时色数或为 $\Delta+2$ 或为 $\Delta+3$,其中 $\Delta$ 为 $G$ 的最大度。