具有相互可见性属性的图的顶点着色

给定图 $G$，引入图 $G$ 的相互可见性着色定义如下：若存在一条内部顶点颜色不同于 $x,y$ 的最短 $x,y$ 路径，则将顶点 $x,y\in V(G)$ 着为相同颜色。完成相互可见性着色所需的最少颜色数称为图 $G$ 的相互可见色数，记为 $\chi_{\mu}(G)$。本文给出 $\chi_{\mu}(G)$ 与其两个父亲——着色数和相互可见数——之间的关系。考察直径为2的图，特别确定笛卡尔积中完全图的相互可见数的渐近增长。设计一种寻找相互可见性着色的贪心算法，并讨论其效率的若干可能情形。给出若干界限，基于其他图参数，如直径、阶、最大度、正则图的正则度以及/或相互可见数。对于日冕积分为证明，其相互可见色数的值取决于该积分为的第一个因子的值。也考察 $\chi_{\mu}(G)=2$ 的图。