图中的全互可见性及其在字典积与笛卡尔积上的研究

给定连通图 $G$，$G$ 的全互可见数记为 $\mu_t(G)$，是最大集合 $S\subseteq V(G)$ 的基数，使得对每一对顶点 $x,y\in V(G)$，存在一条最短 $x,y$-路，其内点不包含于 $S$ 中。本文给出了 $\mu_t(G)$ 的若干组合性质，包括界与闭公式。具体地，我们给出了 $\mu_t(G)$ 关于 $G$ 的直径、阶和/或连通支配数的若干界，并刻画了达到其中某些界极限值的图。我们还考虑了图 $G$ 中那些要么属于 $G$ 的每个全互可见集、要么不属于任何此类集的顶点，并推得这些结果的一些推论。我们依据因子的阶以及积中第一个因子的全互可见数，确定了字典积的全互可见数的精确值。最后，我们给出了笛卡尔积图的全互可见数的若干界与闭公式。