距离互可见着色：与 (总) 支配、精确距离图和图乘积的关系
摘要
互可见 (MV) 概念已在多个方向上得到扩展。若图 G 中顶点子集 S 的任意两顶点之间存在长度至多为 k 的测地线，其内部顶点不在 S 中，则称 S 为 k 距离互可见 (kDMV) 集合。在本文中，我们将此概念与 MV 着色结合如下：若对任意整数 k \geq 1，图 G 的 kDMV 着色是将 V(G) 分割为 kDMV 集合的划分，kDMV 色数 \chi_{\mu_k}(G) 是此类划分的最少基数。当 k=1 或 k \geq diam(G) 时，\chi_{\mu_k}(G) 分别等于 clique cover 数 \theta(G) 或 MV 色数 \chi_{\mu}(G)。因此，我们关注 1 < k < diam(G) 的情况，其中 k=2 产生最有趣的结果。我们证明 \chi_{\mu_2}(G) \leq |V(G)|/2，并给出达到该上界的大型图族。此外，若 G 为 isolate-free，则 \chi_{\mu_2}(G) 受 total domination 数 \gamma_t(G) 的上界约束；而在 girth g(G) \geq 7 的图中，\chi_{\mu_2}(G) 受支配数 \gamma(G) 的下界约束。发现与 exact distance-2 图的惊人关系，即 \theta(G^{[\natural2]}) = \gamma_t(G) 对任意 isolate-free 且 g(G) \geq 7 的图 G 成立。该关系在 lexicographic product 图中进一步探讨，证明 \chi_{\mu_{2}}(G \circ H) \leq \theta(G^{[\natural2]}) \leq \theta((G \circ H)^{[\natural2]})。我们还证明了对两个连通图的 Cartesian (resp. strong) 乘积的 \chi_{\mu_2} (resp. \chi_{\mu_k}) 的尖锐下 (resp. 上) 界，并指出其广泛紧致。最后， characterize 具有 \chi_{\mu_k}(G) = \chi_{\mu}(G) 的 block graphs，其中 k = diam(G) - 1。
引用
@article{arxiv.2510.10284,
title = {Distance mutual-visibility coloring: relations with (total) domination, exact distance graphs and graph products},
author = {Saneesh Babu and Boštjan Brešar and Aparna Lakshmanan S and Babak Samadi},
journal= {arXiv preprint arXiv:2510.10284},
year = {2025}
}