全互见数为零的图及笛卡尔积中的全互见性

若 $G$ 为图且 $X\subseteq V(G)$，则当且仅当 $G$ 的每对顶点 $x$ 与 $y$ 都存在一条最短 $x,y$-路径 $P$ 满足 $V(P) \cap X \subseteq \{x,y\}$ 时，$X$ 为全互见集。 $G$ 的最大全互见集的基数称为 $G$ 的全互见数 $\mu_{\rm t}(G)$。$\mu_{\rm t}(G) = 0$ 的图被刻画为其中无顶点是凸 $P_3$ 的中心顶点的图。笛卡尔积的全互见数得到界定并证明了若干精确结果。例如 $\mu_{\rm t}(K_n\,\square\, K_m) = \max\{n,m\}$ 且 $\mu_{\rm t}(T\,\square\, H) = \mu_{\rm t}(T)\mu_{\rm t}(H)$，其中 $T$ 为树、$H$ 为任意图。亦证明 $\mu_{\rm t}(G\,\square\, H)$ 可任意大于 $\mu_{\rm t}(G)\mu_{\rm t}(H)$。