Hamming 图中的全互可见性

若 $G$ 是一个图且 $X\subseteq V(G)$，则若 $G$ 的任意一对顶点 $x$ 与 $y$ 都存在一条最短的 $x,y$-路 $P$ 使得 $V(P) \cap X \subseteq \{x,y\}$，则称 $X$ 为一个全互可见集。 $G$ 的最大全互可见集的基数称为 $G$ 的全互可见数 $\mu_{\rm t}(G)$。本文研究了 Hamming 图（即完全图的笛卡尔积）上的全互可见数。给出了该问题的几种等价表述。确定了 $\mu_{\rm t}(K_{n_1}\,\square\, K_{n_2}\,\square\, K_{n_3})$ 的值。证明了 $\mu_{\rm t}(K_{n_1} \,\square\, \cdots \,\square\, K_{n_r}) = O(N^{r-2})$（其中 $N = n_1+\cdots + n_r$），且对任意 $r\ge 3$ 有 $\mu_{\rm t}(K_s^{\,\square\,, r}) = \Theta(s^{r-2})$，其中 $K_s^{\,\square\,, r}$ 表示 $r$ 个 $K_s$ 副本的笛卡尔积。主要定理也被重新表述为超图上的 Turán 型结果。