曲面图距离为2的染色的统一方法

本文引入了图 $G$ 的 $\Sigma$-染色概念：对于 $v$ 的邻居的给定子集 $\Sigma(v)$，对每个 $v\in V(G)$，这是 $G$ 顶点的一种正常染色，使得此外在某个 $\Sigma(v)$ 中同时出现的顶点接受不同的颜色。这一概念推广了图的平方染色和嵌入曲面的图的循环染色的概念。我们证明了可嵌入固定曲面的图的一个一般性结果，它蕴含了关于这两种染色平面版本的 Wegner 猜想和 Borodin 猜想的渐近形式。利用 Havet 等人最近的方法，我们将问题归约为多重图的边染色，然后使用 Kahn 关于列表色指数接近分数色指数的结果。我们的结果基于可嵌入固定曲面的图的一个强结构引理，该引理还蕴含了在某个固定曲面上可嵌入的、最大度为 $\Delta$ 的图的平方中团的大小至多为 $\frac32\,\Delta$ 加上一个常数。