随机图着色的局部收敛性

设 $G=G(n,m)$ 为一个随机图，其平均度 $d=2m/n$ 低于 $k$-可着色阈值。如果我们均匀随机地采样 $G$ 的一个 $k$-着色 $\sigma$，那么关于分配给相距较远顶点的颜色之间的相关性，我们能得出什么结论？根据统计物理学的预测，对于低于所谓{\em 凝聚阈值} $d_c(k)$ 的平均度，分配给相距较远顶点的颜色是渐近独立的 [Krzakala et al.: Proc. National Academy of Sciences 2007]。我们证明了当 $k$ 超过某个常数 $k_0$ 时该猜想成立。更一般地，我们研究了 $\sigma$ 在任何固定数量的顶点的有界深度邻域上局部诱导的 $k$-着色的联合分布。此外，我们指出了其对重构问题的一个推论。