随机图与超图着色的连通性阈值

令 $\Omega_q=\Omega_q(H)$ 表示超图 $H$ 的恰当 $[q]$-着色集合。令 $\Gamma_q$ 为以 $\Omega_q$ 为顶点集、边为 ${\sigma,\tau}$ 的图，其中 $\sigma,\tau$ 为着色当且仅当 $h(\sigma,\tau)=1$。此处 $h(\sigma,\tau)$ 为汉明距离 $|\{v\in V(H):\sigma(v)\neq\tau(v)\}|$。我们证明若 $H=H_{n,m;k},\,k\geq 2$，即顶点集为 $[n]$、边数 $m=dn/k$ 的随机 $k$-一致超图，则当 $d$ 足够大且 $q\gtrsim (d/\log d)^{1/(k-1)}$ 时，w.h.p.（以高概率）$\Gamma_q$ 连通。