随机几何图的正交染色

本文研究随机几何图的正交染色。图的两种染色称为正交的，若满足：若两个顶点在一种染色中颜色相同，则它们在另一种染色中颜色不同。随机几何图 $RG(n,r)$ 是通过在单位正方形中随机放置 $n$ 个顶点，并仅当两顶点距离小于阈值 $r$ 时连边而构成的图。我们首先证明，对于 $r>n^{-\alpha}$（其中 $0\leq \alpha \leq\frac{1}{4}$）的随机几何图，以高概率存在使用 $n^{1-2\alpha}(1+o(1))$ 种颜色的正交染色。进而，我们对无穷多个 $n$ 值证明，阈值 $r<cn^{-\frac{1}{4}}$、$c<1$ 的随机几何图以高概率存在最优正交染色。我们通过构造团网格图的正交染色得到了这两个结果。