随机几何图与 Erdős-Rényi 图的交集

我们研究随机几何图与 Erdős-Rényi 图的交集。具体而言，通过从 $D=[0, 1]^2$ 中均匀随机选取 $n$ 个点并连接欧几里得距离不超过 $r$ 的任意两点来生成随机几何图 $G(n, r)$。令 $G(n, p)$ 为经典的 Erdős-Rényi 图，即它有 $n$ 个顶点且每对顶点以概率 $p$ 独立地相邻。在本文中我们研究 $G(n, r, p):=G(n, r) \cap G(n, p)$。理解该图的一种方式是：取 $G(n, r)$ 然后独立地以概率 $1-p$ 随机删除边。我们考虑当 $p(n)\to 0$ 且 $r(n)\to 0$ 时该图的团数、独立数、连通性、哈密顿性、色数和直径；同一模型在 $r(n)\to 0$ 但 $p$ 固定时已被 Kahle、Tian 和 Wang（2023）研究过。