近临界 Erdős–Rényi 随机图大偏差的另一种方法

我们研究了稀疏 Erdős–Rényi 随机图 $\mathcal{G}(n,p)$ 在 $n\gg1$ 个顶点上的近临界行为，其中连接概率 $p$ 满足 $np = 1+\theta(b_n^2/n)^{1/3}$，且 $n^{3/10}\ll {b_n}\ll n^{1/2}$，$\theta\in\mathbb{R}$。为此，我们引入了一个经验测度来描述 $\mathcal{G}(n,p)$ 中尺度为 $\propto (nb_n)^{2/3}$ 的中等大小的连通分量，并刻画了其大偏差行为。证明依赖于详细的组合估计和优化过程。特别地，我们给出了图没有中等大小或更大连通分量的概率的精确估计。我们认为这些结果是分析更一般非均匀随机图的基石。我们的证明策略给出了稀疏 Erdős–Rényi 图连通概率的新的精确估计。