稀疏 Erdős–Rényi 图子图计数的大偏差

对于任意固定的简单图 $H=(V,E)$ 和任意固定的 $u>0$，我们建立了 Erdős–Rényi 图 $G(n,p)$ 中 $H$ 的副本数量超过其期望 $1+u$ 倍的概率的指数率函数的主导阶，假设 $n^{-\kappa(H)}\ll p\ll1$，其中 $\kappa(H) = 1/(2\Delta)$，$\Delta\ge 1$ 为 $H$ 的最大度。这改进了 Chatterjee 和第二作者先前的结果，他们得到 $\kappa(H)=c/(\Delta|E|)$（$c>0$ 为常数）。此外，对于圈计数的情形，我们可取 $\kappa$ 大至 $1/2$。我们还获得了邻接矩阵 Schatten 范数的尖锐上尾，以及满足 Sidorenko 猜想的图的计数的尖锐下尾。作为关键步骤，我们建立了 Szemerédi 正则引理和计数引理的定量版本，适用于大偏差 regime 下随机图的分析。