非齐次Erdős-Rényi随机图最大特征值的大偏差原理

我们考虑一个非齐次 Erdős-Rényi 随机图 $G_N$，其顶点集为 $[N] = \{1,\dots,N\}$，其中顶点对 $i,j \in [N]$，$i\neq j$，以概率 $r(\tfrac{i}{N},\tfrac{j}{N})$ 连边，且与其他顶点对独立。这里，$r\colon\,[0,1]^2 \to (0,1)$ 是一个对称函数，起到参考 graphon 的作用。令 $\lambda_N$ 为 $G_N$ 邻接矩阵的最大特征值。已知当 $N \to \infty$ 时，$\lambda_N/N$ 满足大偏差原理。相关的速率函数 $\psi_r$ 由一个变分公式给出，该公式涉及 graphon 空间上大偏差原理的速率函数 $I_r$。我们分析此变分公式以识别 $\psi_r$ 的性质，特别是当参考 graphon 为秩1时。