稀疏非均匀 Erd\H{o}s-R\'enyi 图的最大特征值

我们考虑非均匀 Erd\H{o}s-R\'enyi 图。假设最大平均度 $d$ 满足 $d \ll \log n$。我们刻画了邻接矩阵及其中心化版本的前 $n^{1 - o(1)}$ 个最大特征值的渐近行为。我们证明，这些极值特征值在一阶近似下由最大度控制，而对于邻接矩阵，则由期望矩阵的非零特征值控制。我们的结果表明，极值特征值表现出一种新颖的行为，特别是排除了它们收敛到非退化点过程的可能性。结合 companion paper [3]（其中我们分析了互补区域 $d \gg \log n$ 中的极值特征值），这确立了极值特征值在 $d \sim \log n$ 附近的行为交叉。我们的证明依赖于独立 Bernoulli 随机变量非均匀和的 Poisson 近似的新尾部估计，以及 Le、Levina 和 Vershynin 提出的关于修剪图算子范数的估计。