具有无穷均值适应度变量的非均匀随机图

我们考虑一类非均匀 Erdős-Rényi 随机图系综，其随机断开概率呈指数衰减，由与图顶点相关联的、具有重尾且无穷均值的独立同分布变量场决定。该模型最近由 Garuccio 等人 (2020) 在物理学文献中作为网络重整化背景下的标度不变随机图进行了研究。从数学角度看，该模型属于标度自由非均匀随机图类，其渐近几何特征近来引起了关注。尽管对于此类图，当底层顶点变量具有有限均值和方差时已有若干结果，但此处我们考虑具有必然无穷均值的单侧稳定变量情形。为简化分析，我们假设变量从参数 $\alpha\in(0,1)$ 的 Pareto 分布中采样。我们首先刻画了典型度及其若干相关观测量的渐近分布。特别地，我们证明在适当缩放后，顶点的度依分布收敛于一个混合 Poisson 律。接着我们证明不同顶点度之间的相关性渐近非零，但同时在考察联合 Laplace 变换在零附近的行为时发现一种渐近尾部独立性。此外，我们给出了关于楔与三角形渐近密度的一些发现，并展示了孤立点（即断开顶点）存在性的交叉现象。