Erd\"{o}s-R\'enyi随机图的边理想：线性分辨率、非混合性与正则度

我们研究Erd\"{o}s-R\'enyi随机图边理想的同调代数。这些随机图通过以概率$1-p$独立地删除$n$个顶点完全图上的边而生成。我们关注这些随机边理想的若干方面——线性分辨率、非混合性以及诸如Castelnuovo-Mumford正则度、射影维数与深度等代数不变量。我们首先展示了线性表示与分辨率存在的双重相变，并确定了临界窗口。作为推论，我们得到除非常特定的参数选择(即$n,p := p(n)$)外，高概率下随机边理想有线性表示当且仅当它有线性分辨率。这表明某些猜想对大随机图以高概率成立，尽管这些猜想已被证明对确定性图不成立。接下来，我们研究稀疏机制(即$p = \frac{\lambda}{n}, \lambda \in (0,\infty)$)下此类随机边理想的某些代数不变量——Castelnuovo-Mumford正则度、射影维数与深度——的渐近行为。这些不变量借助局部弱收敛(或Benjamini-Schramm收敛)研究，并将其与Galton-Watson树上的不变量相联系。我们还证明当$p \to 0$或$p \to 1$足够快时，高概率下边理想是非混合的；而对大多数其他$p$的选择，高概率下这些理想不是非混合的。这是在变量数趋于无穷但次数固定情形下，关于随机单项理想不太可能具有Cohen-Macaulay性质的猜想(见De Loera等2019a,2019b)的进一步进展。