潜空间图与相变的概率视角

我们研究具有潜在几何结构的随机图，其中每条边的概率依赖于对应于两个端点的底层随机位置。我们聚焦于以下条件概率为两向量内积的通用单调递增函数的情形；这样的函数可自然视为某个独立随机变量的累积分布函数。我们考虑一个由该随机变量的方差刻画、在随机点积图与Erdős–Rényi随机图之间平滑插值的单参数随机图族。我们证明了这些图中几何结构可检测性的相变，就底层几何空间的维数与条件概率的方差参数而言。当维数较高或方差较大时，该图类似于具有相同边密度且无几何结构的Erdős–Rényi图；在其他参数区间中，存在一个计算高效的带符号三角形统计量可将它们区分。证明用到了信息论不等式与测度集中现象。