通过树计数研究非均匀 Erdős-Rényi 随机图中的相变

考虑顶点数为 n 的完全图 $K_n$，其中每条边 e 以概率 p_n(e) 独立地开放，否则关闭。此处 $\frac{C-\alpha_n}{n} \leq p_n(e) \leq \frac{C+\alpha_n}{n}$，其中 $C > 0$ 为不依赖于 n 或 e 的常数，且 $0 \leq \alpha_n \longrightarrow 0$ 当 $n \rightarrow \infty$。所得随机图 G 是非均匀的，我们利用树计数论证确立了 G 中的相变。我们还得到相变的临界值为 1，具有以下意义：对于 C < 1，G 的所有连通分量都很小（即至多包含 $M\log n$ 个顶点）且以高概率成立，即概率随 $n \rightarrow \infty$ 趋于 1；对于 C > 1，以高概率至少存在一个巨大连通分量（包含至少 $\epsilon n$ 个顶点，某 $\epsilon > 0$），且每个连通分量要么小要么巨大；对于 C > 8，以正概率巨大连通分量唯一且其他分量均小。作为我们方法的结果，我们直接以无穷级数的形式得到了巨大连通分量中顶点的比例。