临界点附近的 Bohman-Frieze 过程

Erdős-Rényi 过程始于一个具有 n 个顶点的空图，边被随机地逐条添加到图中。Erdős 和 Rényi 的一个经典结果表明，Erdős-Rényi 过程经历一个相变，该相变发生在边数达到 n/2 时（我们称此时为时间 1），并出现一个巨大连通分量。自 Erdős 和 Rényi 的这一开创性工作以来，各种随机图模型被引入和研究。本文研究所谓的 Bohman-Frieze 过程，这是 Erdős-Rényi 过程的一个简单修改。Bohman-Frieze 过程始于一个具有 n 个顶点的空图。在每一步中，呈现两条随机边，如果第一条边会连接两个孤立顶点，则将其添加到图中；否则添加第二条边。我们给出了关于 Bohman-Frieze 随机图过程相变的若干新结果。我们证明，就临界点附近连通分量的大小和结构而言，Bohman-Frieze 过程具有与 Erdős-Rényi 过程定性相似的相变。我们证明，在时间 t_c - ε（即当边数为 (t_c - ε) n/2 时）的所有连通分量都是树或单圈分量，且最大连通分量的大小为 Ω(ε^{-2} log n)。此外，在 t_c + ε 时，除巨大连通分量外的所有连通分量都是树或单圈分量，且第二大连通分量的大小为 Θ(ε^{-2} log n)。这些结果中的每一个都对应于 Erdős-Rényi 过程的一个类似的众所周知的结果。我们的方法包括组合论证，以及将用于随机过程的微分方程方法与对满足拟线性偏微分方程的生成函数进行奇异性分析相结合。