二维环面上临界几何随机图分支的标度律

我们考虑在离散二维环面上的 $N^2$ 个顶点集合上定义的随机图。顶点对之间的边相互独立，其连接概率随顶点间距离 $\rho$ 按 $(N\rho)^{-1}$ 衰减。这是一类非秩 1 的非均匀随机图。先前报道的关于该模型次临界与超临界情形的结果显示出与经典 Erd\H{o}s-R\'{e}nyi 随机图的极大相似性。本文研究其临界相。我们导出了最大连通分支大小经 $(N^2)^{-2/3}$ 重新标度后的扩散逼近。这完成了如下证明：在所有 regime 下，就最大分支的标度而言，该模型与 Erd\H{o}s-R\'{e}nyi 随机图同属一类。