随机图上随机游走诱导的空置集的组件结构

我们考虑几类图上的随机游走，并探索空置集（即未访问顶点集）的可能结构。令Γ(t)为游走在第t步时由空置集诱导的子图。我们证明，对于随机图G_{n,p}（高于连通阈值）和随机正则图G_r（r ≥ 3），图Γ(t)经历了众所周知的Erdős-Rényi相变意义上的相变。因此，对于t ≤ (1-ε)t^*，存在一个唯一的巨组件，加上大小为O(log n)的组件；而对于t ≥ (1+ε)t^*，所有组件的大小均为O(log n)。对于G_{n,p}和G_r，我们给出了t^*的值以及Γ(t)的大小。对于G_r，我们还给出了Γ(t)的度序列、Γ(t)的巨组件（如果有的话）的大小以及给定大小k=O(log n)的Γ(t)的树组件数量。我们还证明，对于高于强连通阈值的随机有向图D_{n,p}，存在类似的定向相变。因此，对于t ≤ (1-ε)t^*，存在一个唯一的强连通巨组件，加上大小为O(log n)的强连通组件；而对于t ≥ (1+ε)t^*，所有强连通组件的大小均为O(log n)。