随机图中年轻巨分支的解剖结构

我们提供了 Erdős–Rényi 随机图 $G(n,p)$ 的巨分支在刚离开标度窗口时的完整描述，即当 $p = (1+\epsilon)/n$ 且 $\epsilon^3 n \to \infty$、$\epsilon=o(1)$ 时。对于 $\epsilon = o(n^{-1/4})$ 的情况，我们的描述特别简单：此时巨分支 $C_1$ 与以下模型是邻接的（即，对该模型以高概率成立的每个图性质，对 $C_1$ 也以高概率成立）。设 $Z$ 为均值为 $\frac23 \epsilon^3 n$、方差为 $\epsilon^3 n$ 的正态随机变量，$K$ 为在 $2\lfloor Z\rfloor$ 个顶点上的随机 3-正则图。将 $K$ 的每条边替换为一条路径，其中路径长度是独立同分布的几何随机变量，均值为 $1/\epsilon$。最后，在每个顶点上附加一棵独立的 Poisson($1-\epsilon$)-Galton-Watson 树。对于更大的 $\epsilon=o(1)$ 也可得到类似图像，此时随机 3-正则图被替换为一个随机图，其度数为 $k$（$k\geq 3$）的顶点数为 $N_k$，且 $N_k$ 的均值和方差均为 $\epsilon^k n$ 量级。这一描述使我们能够确定超临界随机图的基本特征。具体而言，我们可以推断出对于任意衰减速率的 $\epsilon$，巨分支直径的渐近行为，以及 $C_1$ 上随机游走的混合时间。