大、小分支，各得其所 I：度增长的规则图上的超临界渗流

我们为度 $d$ 增长的规则图 $G$ 提供了充分条件，保证其随机子图 $G_p$ 在 $p\cdot d\approx 1$ 时发生类似于 $G(n,p)$ 的相变。这些条件涵盖了几种被广泛研究的图，例如完全图 $K_n$、二元超立方体 $Q^d$、$d$-规则扩展图以及随机 $d$-规则图。特别地，这为这些（及其他）情况提供了一个统一的证明。假设 $G$ 是一个具有 $n$ 个顶点、$d=\omega(1)$ 的 $d$-规则图。令 $\epsilon>0$ 为一个小的常数，并令 $p=\frac{1+\epsilon}{d}$。令 $y(\epsilon)$ 为后代分布为 Po$(1+\epsilon)$ 的 Galton-Watson 树的生存概率。我们证明，如果 $G$ 满足一个（非常）温和的边扩展要求，并且对 $G$ 中小集合的扩展有相当好的控制，那么通常渗流随机子图 $G_p$ 包含一个唯一的巨型分支，其渐近阶为 $y(\epsilon)n$，而 $G_p$ 中的所有其他分支的阶为 $O(\log n/\epsilon^2)$。我们还证明了这个结果是紧的，即如果对 $G$ 中小集合的扩展要求稍弱，则存在具有 $n$ 个顶点的 $d$-规则图 $G$，其中通常第二大分支的阶为 $\Omega(d\log (n/d))=\omega(\log n)$。这是两篇系列论文中的第一篇。在后续工作中，我们考虑常度规则图上的超临界渗流，并在该设定下建立了类似的充分（且本质上紧的）条件。