组件大小均等：II——常数度数的正则图上的超临界 percolation

设 $d\ge 3$ 为固定整数。设 $y:= y(p)$ 为无限 $d$ 正则树的根在进行 $p$ 捆 percolation 后属于无限簇的概率。我们证明对于任意常数 $b,\alpha>0$ 和 $1<\lambda< d-1$，存在常数 $c,C>0$ 使得以下情况成立。设 $G$ 为 $n$ 顶点的 $d$ 正则图，满足：对于每个 $|U|\le \frac{n}{2}$ 的子集 $U\subseteq V(G)$，都有 $e(U,U^c)\ge b|U|$；对于每个 $|U|\le \log^C n$ 的子集 $U\subseteq V(G)$，都有 $e(U)\le (1+c)|U|$。设 $p=\frac{\lambda}{d-1}$。则当 $n$ 趋于无穷大时，以概率趋于 1，随机子图 $G_p$ 中最大簇 $L_1$ 满足 $\left|1-\frac{|L_1|}{yn}\right|\le \alpha$，且所有其他簇的大小均为 $O\left(\frac{\lambda\log n}{(\lambda-1)^2}\right)$。这推广了（并改进了）针对随机 $d$ 正则图的结果。