临界渗流中无限簇的动力学敏感性
概率论
2008-03-27 v2
摘要
在动力学渗流中，每条边的状态根据独立的泊松时钟进行刷新。对于在临界点不发生渗流的图，该性质的动力学敏感性在过去十年中得到了广泛分析。此处我们关注在临界点发生渗流的图，并研究无限簇的动力学敏感性。我们首先给出两个有界度图的例子：一个在临界点的所有时刻都发生渗流，另一个则存在不发生渗流的异常时刻。随后，我们对具有球对称边概率（且概率值远离 0 和 1）的球对称树进行了近乎完整的分析。一个有趣的情形是，当在固定时刻连接到根的第 n 层顶点的期望数量为 n(log n)^alpha 量级时。R. Lyons (1990) 表明，在固定时刻，当且仅当 alpha > 1 时几乎必然存在无限簇。我们证明，若 alpha > 2，则在所有时刻都存在无限簇的概率为 1；而若 1 < alpha <= 2，则该概率为 0。在几乎必然在所有时刻都存在无限簇的机制内，该过程的行为还存在另一种类型的“相变”：如果在固定时刻连接到根的第 n 层顶点的期望数量为 n^theta 量级且 theta > 2，则根不发生渗流的时间集合在 [0,1] 区间内的连通分量数量几乎必然有限；而若 1 < theta < 2，则此类分量的数量以正概率为无穷大。
引用
@article{arxiv.0708.4287,
title = {Dynamical sensitivity of the infinite cluster in critical percolation},
author = {Yuval Peres and Oded Schramm and Jeffrey E. Steif},
journal= {arXiv preprint arXiv:0708.4287},
year = {2008}
}
备注
38 pages, revision, to appear in Ann. Inst. H. Poincare Probab. Statist