约束度数 percolation on 超立方格子：唯一性及其某些结论

我们考察了超立方格子上的约束度数 percolation (CDP) 模型。该模型由一列独立同分布的均匀随机变量序列 $(U_e)_{e\in\mathcal{E}^d}$ 和一个正整数 $k$（称为约束）定义。该模型的演化方式如下：每条边 $e$ 在随机时间 $U_e$ 尝试打开，独立于其他边；若在时间 $U_e$ 时，其两个端点都具有严格小于 $k$ 的度数，则该尝试成功。已知 \cite{hartarsky2022weakly}，该模型在 $d\geq3$ 时，对大多数非平凡的 $k$ 值会发生相变。在本文中，我们证明了对于任意固定的约束，在任意时间 $t\in[0,1)$ 时，无限簇的数量几乎必为 0 或 1。该唯一性结果意味着在超临界区域 $t\in(t_c,1)$（其中 $t_c$ 为 percolation 临界阈值）内，percolation 函数连续。该证明依赖于模型的一个关键时间正则性质：该过程的分布对局部事件是连续的。事实上，我们建立了时间可微性，从而将 \cite{SSS} 的结果推广到 CDP 情形。