Galton-Watson 树上的临界渗流与初生无穷簇

我们考虑 Galton-Watson 树上的临界渗流,并证明临界分支过程经典定理的拟必然(quenched)类比。我们证明临界渗流到达深度 $n$ 的概率渐近于一个依赖于树的常数乘以 $n^{-1}$。类似地,在条件于临界渗流到达深度 $n$ 时,临界渗流簇中深度 $n$ 处的顶点数几乎必然依分布收敛于一个仅依赖于后代分布的期望为某值的指数随机变量。对几乎所有 Galton-Watson 树构造了初生无穷簇(IIC),并证明了 IIC 中深度 $n$ 处顶点数的极限律,同样仅依赖于后代分布。只要用于生成这些 Galton-Watson 树的后代分布具有所有有限矩,上述每个结果都几乎必然成立。