Galton-Watson 树上的淬火临界渗流

我们考虑超临界 Galton-Watson 树上的临界渗流。我们证明，当后代分布处于某个 $\alpha \in (1,2)$ 的 $\alpha$-稳定律的吸引域中，或具有有限方差时，几个退火性质在淬火设定下也成立。特别地，以下性质对几乎每个树的实现上的临界根簇成立：(1) 重标度的生存概率收敛；(2) Yaglom 极限或其稳定类似物成立——特别地，在生存条件下，第 $n$ 代中连接到根簇的顶点数重标度到某个（显式的）随机变量；(3) 在初始生存条件下，根簇中的代大小序列重标度到一个连续状态分支过程。这加强了 Michelen (2019) 的一些早期结果，他证明了在初始树具有所有矩有限的后代分布的情况下 (1) 和 (2)。