临界 Cauchy Bienaymé-Galton-Watson 树中的凝聚现象

我们关注后代分布为临界且落在指数为 $\alpha=1$ 的稳定律吸引域中的大型 Bienaymé-Galton-Watson 随机树的结构。与 $\alpha \in (1,2]$ 的情形形成鲜明对比，我们表明发生了凝聚现象：在此类树中，出现一个具有宏观度数的顶点。为此，我们建立了中心向下无跳跃随机游走的极限定理，其步长处于 Cauchy 分布的吸引域中，且在条件为迟晚进入负实轴时。这些结果具有独立意义。作为一个应用，我们研究特定 regime（称为参数 $3/2$ 的非泛型）下随机平面地图边界的几何。这支持了 Le Gall 与 Miermont 的 $3/2$-稳定地图中面为自避的猜想。