关于临界分支随机游动的最大位移

我们考虑由位于位置 0 的单个粒子发起的分支随机游动，其中粒子交替地根据 Galton-Watson 过程的规律进行繁殖，并根据整数集上无漂移随机游动的规律进行分散。当后代分布的均值为 1 时，该分支过程是临界的，因此以概率 1 灭绝。我们证明，如果粒子跳跃分布的均值为零、具有正的有限方差 $\eta^{2}$ 和有限的 $4+\varepsilon$ 阶矩，且后代分布具有正方差 $\sigma^{2}$ 和有限的三阶矩，那么分支随机游动中粒子到达的最右位置 $M$ 的分布满足 $P\{M \geq x\}\sim 6\eta^{2}/ (\sigma^{2}x^{2})$（当 $x \rightarrow \infty$ 时）。我们还证明了在给定过程存活 $n$ 代的条件下，时刻 $n$ 最右侧粒子位置分布的条件极限定理。