二维及更高维临界分支随机游走的占据统计

考虑在 $d$ 维整数格上由原点单个粒子引发的临界最近邻分支随机游走。令 $G_{n}$ 为该分支随机游走存活至第 $n$ 代的概率事件。我们在 $G_{n}$ 发生的条件下，针对多种占据统计获得了极限定理：(1) 令 $V_{n}$ 为时刻 $n$ 单个位点上的最大粒子数。若后代分布对某个整数 $\alpha\geq 2$ 存在有限的 $\alpha$ 阶矩，则在三维及更高维中，$V_n=O_p(n^{1/\alpha})$；若后代分布具有指数衰减的尾部，则在三维及更高维中 $V_n=O_p(\log n)$，在二维中 $V_n=O_p((\log n)^2)$。此外，若后代分布是非退化的，则对于某个 $\delta >0$，有 $P(V_n\geq \delta \log n | G_{n})\to 1$。(2) 令 $M_{n} (j)$ 为第 $n$ 代中多重度为 $j$ 的位点数，即恰好被 $j$ 个粒子占据的位点数。在三维及更高维中，随机变量 $M_{n} (j)/n$ 联合收敛于一个指数随机变量的倍数。(3) 在二维中，“典型”位点（即第 $n$ 代中随机选取的粒子所在位置）上的粒子数数量级为 $O_p(\log n)$，而被占据的位点数为 $O_p(n/\log n)$。