分支随机游动占据统计量的指数与拉普拉斯近似

我们研究了 $d$ 维格点上临界最近邻分支随机游动在条件非灭绝下的占据计数。对于 $d\geq 3$,Lalley 与 Zheng (2011) 证明了被适当缩放的、由 $j$ 个第-$n$ 代粒子占据的站点数($j=1,2,\ldots$)的联合分布,当 $n$ 趋于无穷时依分布收敛到单个指数随机变量的确定性倍数。该极限指数变量可理解为第 $n$ 代总种群规模的经典 Yaglom 极限。本文研究此极限周围的二阶涨落:首先,给出对所有 $d\geq3$ 均成立的 Wasserstein 度量下的收敛速率;其次,证明对于 $d\geq 7$,被占据-$j$ 站点数与总种群规模适当倍数之间缩放联合差的弱极限在 Wasserstein 度量下收敛到多元对称拉普拉斯分布。我们也给出了后一结果的收敛速率。