末代子代修正分支随机游走的右端位置

本文考虑通常分支随机游走（BRW）的一种修正，即对第 $n$ 代的所有粒子赋予独立同分布（i.i.d.）的位移，其分布可能不同于驱动增量分布。我们称此过程为末代子代修正分支随机游走（LPM-BRW）。根据参数 $\theta$ 的取值，我们将模型分为三种不同情形：边界情形、边界以下情形和边界以上情形。在对增量的底层点过程作极小假设下，我们证明在边界情形 $\theta=\theta_0$（其中 $\theta_0$ 为与位移点过程相关的参数值）时，最大位移在经过仅含形式 $c_1 n - c_2 \log n$ 的适当中心化后收敛到某一极限。我们给出了常数 $c_1$ 和 $c_2$ 的显式公式，并表明 $c_1$ 与通常 BRW（Aidekon, 2013）的对应常数完全相同，而 $c_2$ 为其对应常数的 $1/3$。我们还刻画了极限分布。进一步表明在边界以下 $\theta < \theta_0$ 时，对数修正项消失。对于边界以上情形 $\theta > \theta_0$，对数修正项与经典 BRW 完全相同。对于 $\theta \leq \theta_0$，我们进一步推导了 LPM-BRW 的点过程收敛到泊松点过程的 Brunet-Derrida 型结果。我们的证明基于一种将最大位移与统计学中研究较充分的所谓平滑变换相关的线性统计量相耦合的新方法。