树值分支随机游走在随机环境中的范围的缩放极限

我们研究一种分支随机游走 (BRW)，其取值在随机树 $\bT$ 上（视为家族树），具有无限祖先列，是超critical Galton--Watson (GW) 树的一个变体，其后代分布为 $\nu$。BRW 的转移概率为在 $\bT$ 上进行的临界偏向随机游走：即，从 $x$ 移动到其 $k_x$ 个子节点之一的概率为 $1/(\mathtt{m}_\nu+k_x)$，从 $x$ 移动到 $x$ 的直接父节点的概率为 $\mathtt{m}_\nu/(\mathtt{m}_\nu+k_x)$。这里 $\ttm_\nu$ 表示 $\nu$ 的均值。该 BRW 由一个在条件下拥有 $n$ 个顶点的临界 GW 树索引而成，其后代分布位于 $\alpha$-stable 氏族范畴内，其中 $\alpha \in (1, 2]$。我们记 $\cR_n$ 为 BRW 的范围，即所有在 $\bT$ 中被访问的站点的集合。在 $\nu$ 的一个矩假设下，我们证明如果将 $\cR_n$ 作为 $\bT$ 中的随机子树，配以其图距离 $d_{\mathtt{gr}}$ 和占用测度 $\ttm^{_{(n)}}_{{\mathtt{occ}}}$，则存在一个缩放序列 $s_n \! \to \! \infty$，使得在给定环境 $\bT$ 的条件下，度量空间 $(\cR_n, s_n^{-1}d_{\mathtt{gr}} , \frac{_1}{^n}\ttm^{_{(n)}}_{{\mathtt{occ}}} )$ 在 Gromov--Hausdorff--Prokhorov sense 中弱收敛于Curien、Le Gall 与 Miermont 在 \cite{CuLGMi13} 所述的随机度量紧实树，称为带 $\alpha$-stable 分支机制的 Brownian cactus。该工作扩展了 D., K., Lin 与 Torri \cite{DuKhLiTo22} 中关于 $\bT$ 为regular树的结果。