Galton-Watson树上简单随机游走桥的最大位移

我们分析了超临界Galton-Watson树上的简单随机游走，其中该游走被条件约束为在时间$2n$返回根节点。具体而言，我们建立了当$n\to\infty$时，距根节点最大位移的渐近阶（至多相差一个常数因子）。我们的结果在几乎必然每一个存活树$T$（在某些温和矩条件下）上均成立，并分为两种情况。当子代分布以正概率取小于或等于$1$的值时，该桥的最大位移被证明为$n^{1/3}$阶。反之，当子代分布的最小可能值至少为$2$（且非常数）时，最大位移被证明小于$n$阶但大于$n^{\gamma}$阶（对任意$\gamma<1$）。这两种情况均与正则树的情形形成对比，在正则树上该桥已知为扩散性的。为获得我们的结果，我们展示了该游走如何倾向于聚集到最小度顶点的大型簇上，并在其上度过大部分时间。此类簇的大小与频率通常依赖于子代分布所能取到的最小可能值，而这正是存在两种机制的主要原因。