随机环境中随机游动桥的最大位移

众所周知，$\bf{Z}$ 上的简单随机游动在 $2n$ 步后返回原点的条件分布不依赖于向右移动的概率 $p= P(S_1 = 1)$。此外，在 $\{S_{2n}=0\}$ 的条件下，最大位移 $\max_{k\leq 2n} |S_k|$ 经 $\sqrt{n}$ 标度后依分布收敛（扩散标度）。我们考虑 $\bf{Z}$ 上瞬态随机环境中随机游动的类似问题。我们证明，在淬火律 $P_\omega$（以环境 $\omega$ 为条件）下，随机游动在时刻 $2n$ 返回原点的条件下，其最大位移不再必然是 $\sqrt{n}$ 的量级。若环境是巢式的（同时存在正负局部漂移），则在时刻 $2n$ 返回原点的条件下，最大位移为 $n^{\kappa/(\kappa+1)}$ 量级，其中常数 $\kappa>0$ 依赖于环境的分布律。另一方面，若环境是边际巢式或非巢式的（仅存在非负局部漂移），则在时刻 $2n$ 返回原点的条件下，对于任意 $\varepsilon>0$，最大位移至少为 $n^{1-\varepsilon}$ 且至多为 $n/(\ln n)^{2-\varepsilon}$。作为我们证明的一个推论，我们得到了 $P_\omega(X_{2n}=0)$ 的精确衰减速率。特别地，对于某些非巢式环境，我们证明 $P_\omega(X_{2n}=0) = \exp\{-Cn -C'n/(\ln n)^2 + o(n/(\ln n)^2) \}$，其中常数 $C,C'>0$ 是显式的。