亚临界分支随机游动的最大位移

我们研究由位于原点处的单个粒子发起的一维亚临界分支随机游动的最大位移。对每个 $n\in\mathbb{N}$，令 $M_{n}$ 为分支随机游动到第 $n$ 代为止所到达的最右位置。在子代分布具有有限三阶矩、跳跃分布均值为零且具有有限概率生成函数的假设下，我们证明存在 $\rho>1$ 使得函数 $$g(c,n):=\rho ^{cn} P(M_{n}\geq cn), \quad \mbox{for each }c>0 \mbox{ and } n\in\mathbb{N},$$ 满足以下性质：存在 $0<\underline{\delta}\leq \overline{\delta} < {\infty}$ 使得若 $c<\underline{\delta}$，则 $$0<\liminf_{n\rightarrow\infty} g (c,n)\leq \limsup_{n\rightarrow\infty} g (c,n) {\leq 1},$$ 而若 $c>\overline{\delta}$，则 $$\lim_{n\rightarrow\infty} g (c,n)=0.$$ 此外，若跳跃分布具有有限右范围 $R$，则 $\overline{\delta} < R$。若进一步跳跃分布是“近右连续的”，则存在 $\kappa\in (0,1]$ 使得对所有 $c<\underline{\delta}$ 有 $\lim_{n\rightarrow \infty}g(c,n)=\kappa$。我们还证明了 $M:=\sup_{n\geq 0}M_{n}$（即分支随机游动曾到达的最右位置）的尾分布具有类似的指数衰减（没有在 $\underline{\delta}$ 处的截断）。最后，通过对偶性，这些结果意味着条件于灭绝的超临界分支随机游动的最大位移具有类似的尾行为。